Maka dalam edisi matematika kali ini, kita masih membahas perihal limit, yaitu : Limit Fungsi Trigonometri.
Sama halnya dengan limit fungsi aljabar, penyelesaian limit fungsi trigonometri paling umum dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika seandainya hasil yang diperoleh yaitu bentuk tidak tentu, gres dilanjutkan dengan model penyelesaian lain ibarat :
- Dengan cara pemfaktoran
- Dengan cara turunan
Sifat-Sifat Limit Fungsi Trigonometri
Dalam mencari nilai limit fungsi trigonometri, maka kita perlu memahami beberapa sifat limit fungsi trigonometri.A. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri Dasar
- lim x→0Sin x x= 1, begitu juga denganlim x→0Sin ax ax= 1
- lim x→0x Sin x= 1, begitu juga denganlim x→0ax Sin ax= 1
- lim x→0tan x x= 1, begitu juga denganlim x→0tan ax ax= 1
- lim x→0x tan x= 1, begitu juga denganlim x→0ax tan ax= 1
B. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri lainnya
- lim x→0Sin ax bx=a bataulim x→0ax Sin bx=a b
- lim x→0tan ax bx=a bataulim x→0ax tan bx=a b
- lim x→0sin ax sin bx=a bataulim x→0tan ax tan bx=a b
- lim x→0sin ax tan bx=a bataulim x→0tan ax sin bx=a b
Contoh Soal
Soal No.1Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
sin 3x 2x
Pembahasan
lim x→0
sin 3x 2x
= lim x→0
sin 3x 2x
. 3x 3x
⇔
lim x→0
sin 3x 3x
. 3x 2x
⇔1.
3 2
= 3 2
Soal No.2
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
5x 3 Sin 3x
Pembahasan
lim x→0
5x 3 Sin 3x
= lim x→0
5x 3 Sin 3x
. 3x 3x
⇔
lim x→0
3x 3 Sin 3x
. 5x 3x
⇔
lim x→0
1 3
. 3x Sin 3x
. 5x 3x
⇔
1 3
.1. 5 3
= 5 9
Soal No.3
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini menurut sifat-sifat limit fungsi trigonometri (lihat rumus diatas):
a.
lim x→0
sin 4x 3x
b.
lim x→0
sin 2x sin 3x
c.
lim x→0
sin 2x tan 7x
Pembahasan
a.
lim x→0
sin 4x 3x
= 4 3
Limit tersebut memakai sifat :
lim x→0
Sin ax bx
= a b
b.
lim x→0
sin 2x sin 3x
= 2 3
Limit tersebut memakai sifat :
lim x→0
sin ax sin bx
= a b
c.
lim x→0
sin 2x tan 7x
= 2 7
Limit tersebut memakai sifat
lim x→0
sin ax tan bx
= a b
Soal No.4
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini dengan cara turunan:
lim x→0
3x sin 3x
Pembahasan
Kalau kita mengacu pada rumus diatas tentunya akan didapatkan 3/4, namun disini akan memakai cara turunan dalam mencari limit tersebut.
lim x→0
3x sin 3x
⇔
lim x→0
3x sin 3x
= 3 4 cos 4x
= 3 4 cos 0
= 3 4
Soal No.5
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→1/2
sin (4x - 2) tan (2x - 1)
Pembahasan
Kita misalkan :
a = 2x -1
Jika x→1/2, maka a→0
Dengan demikian penyelesaian limit diatas yaitu :
a = 2x -1
Jika x→1/2, maka a→0
Dengan demikian penyelesaian limit diatas yaitu :
lim x→1/2
sin (4x - 2) tan (2x - 1)
⇔
lim x→1/2
sin 2(2x - 1) tan (2x - 1)
⇔
lim x→1/2
sin 2a tan a
= 2 Soal No.6
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
x2 + sin x tan x 1- cos 2x
Pembahasan
lim x→0
x2 + sin x tan x 1- cos 2x
⇔
lim x→0
x2 + sin x tan x 1- (1- 2 Sin2x)
⇔
lim x→0
x2 + sin x tan x 2 Sin2x
⇔
lim x→0
x2 2 Sin2x
+ Sin x tan x 2 Sin2x
⇔
lim x→0
1 2
x x Sin x
x x Sin x
+ 1 2
x Sin x Sin x
x tan x Sin x
⇔
1 2
x 1 x 1 + 1 2
x 1 x 1 = 1 Soal No.7
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :
lim x→0
2 - 2 cos 2x x2
Pembahasan
lim x→0
2 - 2 cos 2x x2
⇔
lim x→0
2(1 - cos 2x) x2
⇔
lim x→0
2{1 - (1 - 2 Sin2x)} x2
⇔
lim x→0
2(1 - 1 + 2 Sin2x) x2
⇔
lim x→0
2(2 Sin2x) x2
⇔
lim x→0
4 Sin2x x2
⇔ 4.
lim x→0
( Sin x x
)2 = 4.12 = 4
Advertisement